在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围; (2)求圆C的方程; (3)问圆C是否经过定点(其坐标
题目
在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
答案
.(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);
令f(x)=x
2+2x+b=0,由题意b≠0且△>0,解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x
2+y
2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x
2+Dx+F=0这与x
2+2x+b=0是同一个方程,故D=2,F=b.
令x=0得y
2+Ey+F=0,方程有一个根为b,代入得出E=-b-1.
所以圆C的方程为x
2+y
2+2x-(b+1)y+b=0.
(3)圆C必过定点,证明如下:
假设圆C过定点(x
0,y
0)(x
0,y
0不依赖于b),将该点的坐标代入圆C的方程,
并变形为x
02+y
02+2x
0-y
0+b(1-y
0)=0(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,必须有1-y
0=0,结合(*)式得x
02+y
02+2x
0-y
0=0,解得
或经检验知,(-2,1)和(0,1)均在圆C上,因此圆C过定点(-2,1)和(0,1).
(1)由题意知,由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0,然后抛物线与x轴有两个交点即令f(x)=0的根的判别式大于0即可求出b的范围;
(2)设出圆的一般式方程,根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知:令y=0得到与f(x)=0一样的方程;令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程;
(3)设圆的方程过定点(x0,y0),将其代入圆的方程得x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0,因为x0,y0不依赖于b得取值,所以得到1-y0=0即y0=1,代入x02+y02+2x0-y0=0中即可求出定点的坐标.
二次函数的图象;圆的标准方程.
本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.是一道综合题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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