m(x^2+y^2+2y+1)=(x+2y+1)^2表示椭圆的方程,求m的取值范围?

题目

m(x^2+y^2+2y+1)=(x+2y+1)^2表示椭圆的方程,求m的取值范围?

答案

m[x^2+(y+1)^2]=(x+2y+1)^2
所以m>=0,两边开方,得：
根号m*根号[x^2+(y+1)^2]=|x+2y+1|
根号(m/5)*根号[x^2+(y+1)^2]=|x+2y+1|/根号5
上式表示了：平面上到定点(0,-1)距离与到定直线:x+2y+1=0间距离之比为根号(5/m)的点的集合.
根据椭圆的第二定义,该比值（即离心率）应为小于1的正数
所以根号(5/m)<1
m>5