把长为1的线段任意分成长度分别是a b c的三段,求这三段能构成三角形的概率.用几合概型写

题目

把长为1的线段任意分成长度分别是a b c的三段,求这三段能构成三角形的概率.用几合概型写

答案

三段为任意长度时,设三段的长度分别为x,y和z=1-x-y>0从这里可以推知 1-x-y>0 x+y<1.
则x,y在区域U = {(x,y)| 0若这三段能构成三角形,则x,y还需满足两个条件,
1.两边之和大于第三边 即x+y>1-x-y
于是2（x+y）>1, x+y>1/2
2.每边长度小于1/2
即x<1/2 y<1/2
记 V = {(x,y)|x+y>1/2,y<1/2,x<1/2} V即满足三段构成三角形的区域
由于x,y在区域U内服从均匀分布,因此,三段能构成三角形的概率为
区域V的面积/区域U的面积
分别画出U V区域的图,可知,区域
V = {(x,y)|x+y>1/2,y<1/2,x<1/2}
是一个以(0,0) (0,1/2), (1/2,0)为三个顶点的等腰直角三角形,两直角边的长度都为1/2
其面积为 1/2 * 底 *高 =1/2 *1/2 *1/2 =1/8
而代表事件全集的图形 U = {(x,y)|0是一个以(0,0) (0,1) (1,0)为顶点等腰直角三角形,两直角边的长度都为1
其面积为 1/2 *1 *1=1/2
于是所求概率就出来了
p{任意分成三段能够构成三角形}=S△V / S△U =(1/8) / (1/2) =1/4
因此,任意分成三段能构成三角形的概率为 1/4
图我就不划了,画出来也就是两个直角三角形.