若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围
题目
若正数x,y满足x+y=1,且不等式根号下x+根号下y≤a恒成立,求a的取值范围
答案
√x+√y≤a√(x+y)成立,显然a>0,两边平方
x+y+2√xy≤a^2(x+y)
(a^2-1)(x+y)≥2√xy恒成立
因为x+y≥2√xy成立
所以当且仅当a^2-1≥1时,(a^2-1)(x+y)≥x+y≥2√xy
由a^2-1≥1且a>0,得
a≥√2
a的取值范围是[√2,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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