设a>1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时,a的取值的集合为_.

设a>1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时,a的取值的集合为_.

题目
设a>1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时,a的取值的集合为______.
答案
由方程logax+logay=c,可得xy=ac(x,y>0).
∵a>1,
∵函数y=
ac
x
在x∈[a,2a]上单调递减,
a=
ac
2a
a2
ac
a
,化为2a2=a3,a>1解得a=2.
∴a的取值的集合为{2}.
故答案为:{2}.
由方程logax+logay=c,可得xy=ac(x,y>0).已知2a>a>0,a2-a>0,解得a>1.利用函数y=
ac
x
在x∈[a,2a]上单调递减,可得
a=
ac
2a
a2
ac
a
,解出即可.

对数的运算性质.

本题考查了对数的运算性质、函数的单调性,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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