已知函数f(x)=ex-x(e是自然数对数的底数) (1)求f(x)的最小值; (2)不等式f(x)>ax的解集为P,若M={x|1/2≤x≤2},且M∩P=ϕ,求实数a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=e
x-x(e是自然数对数的底数)
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集为P,若
M={x|≤x≤2},且M∩P=ϕ,求实数a的取值范围.
答案
(1)f'(x)=e
x-1由f'(x)=0得x=0
当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,+∞)连续,
故f
min(x)=f(0)=1.
(2)∵M∩P≠φ,
即不等式f(x)>ax在区间
[,2]有解f(x)>ax可化为(a+1)x<e
x∴
g(x)=−1,x∈[,2],
a<−1在区间
[,2]a<gmax(x)∵
g′(x)=故g(x)在区间[,1]递减,
在区间[1,2]递增,
g()=2−1又
g(2)=e2−1,且g(2)>g()∴
gmax(x)=g(2)=e2−1所以,实数a的取值范围为
(−∞,e2−1).
(1)求出函数的导数,利用导数为0,求出极值点,通过单调性说明极值点时是函数的取得最小值,即可.
(2)求出不等式的解集P,通过M∩P≠φ,说明
x∈[,2]时,a小于g(x)的最大值,利用函数的导数求出g(x) 的最大值即可.
利用导数求闭区间上函数的最值;空集的定义、性质及运算;交集及其运算.
本题是中档题,考查函数的导数的应用,转化思想的应用,考查计算能力.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 姚明的英文简介?
- 李军把640毫升水倒入4个小杯和1个大杯,正好都倒满,小杯的容量是大杯的1/4.则大杯的容量是320毫升.…_.(判断对错)
- 什么时候here前有介词
- 表达节假日对亲人的思念之情
- 以感情为线索的作文
- 在一道加法算式中,一个加数增加13,一个加数增加25,和怎样变化?
- 一道文言文题,是梦溪笔谈的登州海中,时有云气……
- 有黑兔和白兔,黑土是白兔只数的1|3,后来卖掉240只白兔后,白兔是黑土只数的1|3,原有黑兔多小只?
- 小明有10棵树,爸爸要求他种成5行,每行4棵,怎么种?
- 物料需求计划(MRP)的优缺点、适应条件、概念?