如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD平行BC,以AB为直径的半圆切CD于点M,这个梯形的面积为10,周长为14,

题目

如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD平行BC,以AB为直径的半圆切CD于点M,这个梯形的面积为10,周长为14,
求圆的半径

答案

∵在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD平行BC
∴∠BAD = ∠ABC = 90°
∵半圆以AB为直径
∴半圆与AD和BC均相切.
∵以AB为直径的半圆切CD于点M
∴设半圆圆心为O,连OM,则OM⊥DC
∵半圆与AD、DC、BC 均相切,
∴连OD、OC,则△OAD≌△OMD 且有△OBC≌△OMC
∴△ODC的面积等于梯形ABCD面积的一半
∴S△ODC = （1/2）×10 = 5
∴设半圆半径为r,
则有 （1/2）×DC × r = 5
即：DC × r = 10 ----------------------------------- ①
∵半圆与AD、DC、BC 均相切,
∴DA=DM,且CB=CM
由梯形ABCD的周长为14知：
2r+AD+DC+CB = 14
∴2r+2DC=14
∴r+DC=7 ------------------------------------ ②
由 ① ② 得：
r= 2 DC=5
∴圆的半径为2
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