在平面直角坐标系XOY中,有一个以F1（0,-根号3）和F2（0,根号3）为焦点,离心率为根号3/2的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,

题目

在平面直角坐标系XOY中,有一个以F1（0,-根号3）和F2（0,根号3）为焦点,离心率为根号3/2的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,求：（1）点M的轨迹方程.（2）丨向量OM丨的最小值.

答案

（1）利用相关点法求轨迹方程,设P（x0,y0）,M（x,y）,利用点M的坐标来表示点P的坐标,最后根据x0,y0满足C的方程即可求得；
（2）先将| 向量OM |用含点M的坐标的函数来表示,再利用基本不等式求此函数的最小值即可．
（I）椭圆方程可写为：y2/a2+x2/b2=1式中a＞b＞0,且a2-b2=3 ；√3/a=√3/2得a2=4,b2=1,
所以曲线C的方程为：x2+y2/4=1（x＞0,y＞0）．y=2√(1-x2)（0＜x＜1）y'=-2x/√(1-x2)
设P（x0,y0）,因P在C上,有0＜x0＜1,y0=2√(1-x 0平方) ,y'|x=x0=-4x0/y0 ,得切线AB的方程为：y=-4x0/y0（x-x0）+y0．
设A（x,0）和B（0,y）,由切线方程得x=1/x0 ,y=4/y0 ．
由向量OM=向量OA+向量OB 得M的坐标为（x,y）,由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为：1/x2+4/y2=1（x＞1,y＞2）
（Ⅱ）| 向量OM |2=x2+y2,y2=4/(1-1/x2)=4+4/(x2-1),
∴| 向量OM |2=x2-1+4/(x2-1)+5≥4+5=9．
且当x2-1=4/(x2-1),即x=√3＞1时,上式取等号．
故| 向量OM |的最小值为3．