在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-根号3)和F2(0,根号3)为焦点,离心率为根号3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B,

题目

在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-根号3)和F2(0,根号3)为焦点,离心率为根号3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B,且向量OM=向量OA+向量OB,求
（1）点M的轨迹方程 （2）|向量OM|的最小值

答案

因为 c^2=3 ,e^2=c^2/a^2=3/a^2=3/4 ,所以 a^2=4 ,
则 b^2=a^2-c^2=1 ,
因此椭圆的方程为 y^2/4+x^2=1 , （*）
设 P（x0,y0）,则椭圆在 P 处的切线方程为 y0*y/4+x0*x=1 ,
令 y=0 得 A（1/x0 ,0）,令 x=0 得 B（0,4/y0）,
因此 OM=OA+OB=（1/x0,4/y0）.
（1）设 M（x,y）,则 x=1/x0 ,y=4/y0 ,
因此 x0=1/x ,y0=4/y ,
由于 x0、y0 满足 （*）,
所以代入可得 4/y^2+1/x^2=1 ,这就是 M 的轨迹方程 .
（2）由于 y0^2/4+x0^2=1 ,
因此 |OM|^2=1/x0^2+16/y0^2
=(1/x0^2+16/y0^2)(x0^2+y0^2/4)
=1+4+16(x0/y0)^2+1/4*(y0/x0)^2
>=5+2*√(16/4)=9 ,
所以,|OM| 的最小值为 3 .