如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE=BF．求证：∠A=∠C．

题目

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE=BF．求证：∠A=∠C．

答案

证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，
∴∠DBC=∠BDA=90°，
∵在Rt△ADB中，E是AB的中线，
∴DE=

1

2

AB，
同理：BF=

1

2

DC，
∵DE=BF，
∴AB=CD，
在Rt△ADB和Rt△CBD中，

AB＝CD DB＝BD

，
∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL），
∴∠A=∠C．

首先根据平行线的性质可得∠DBC=∠BDA=90°，再根据直角三角形的性质可得DE=

1

2

AB，BF=

1

2

DC，然后可得AB=CD，再证明Rt△ADB≌Rt△CBD可得∠A=∠C．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是找出证明Rt△ADB≌Rt△CBD的条件．