如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD⊥AD,点E,F分别是边AB,CD的中点,且DE=BF.求证:∠A=∠C.

如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD⊥AD,点E,F分别是边AB,CD的中点,且DE=BF.求证:∠A=∠C.

题目
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD⊥AD,点E,F分别是边AB,CD的中点,且DE=BF.求证:∠A=∠C.
答案
证明:∵AD∥BC,BD⊥AD,
∴∠DBC=∠BDA=90°,
∵在Rt△ADB中,E是AB的中线,
∴DE=
1
2
AB,
同理:BF=
1
2
DC,
∵DE=BF,
∴AB=CD,
在Rt△ADB和Rt△CBD中,
AB=CD
DB=BD

∴Rt△ADB≌Rt△CBD(HL),
∴∠A=∠C.
首先根据平行线的性质可得∠DBC=∠BDA=90°,再根据直角三角形的性质可得DE=
1
2
AB,BF=
1
2
DC,然后可得AB=CD,再证明Rt△ADB≌Rt△CBD可得∠A=∠C.

全等三角形的判定与性质.

此题主要考查了全等三角形的判定与性质,关键是找出证明Rt△ADB≌Rt△CBD的条件.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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