证明锐角三角形中三个角的正弦值之和大于他们的余弦值之和

题目

证明锐角三角形中三个角的正弦值之和大于他们的余弦值之和

答案

求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
证明：不妨设A=60度,所以sinC>cosC①
sinA+sinB-cosA-cosB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
=2cos((A-B)/2)[sin((A+B)/2)-cos((A+B)/2)]
因为90cosA+cosB②
由①②知不等式sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC成立.证毕!