如何用区间套定理证明波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

题目

如何用区间套定理证明波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

答案

你把有界闭集一分为二,其中一个肯定有无限个点,否则就变成有限集了；
再在刚分出来的那个有无限点的子集上作二分法,其中至少一个仍有无限点；
就这么不断一分为二,分出的子集中总有一个有无限点,否则有限步骤就把有界集分割完了,那它肯定没有无限个点；
分割过程中,不断得到的无限子集就形成一个闭区间套,因为我用二分法一直做下来的,就是 (闭区间右端点 - 闭区间左端点) / (2^n),n->∞时这个数列收敛到0；
也就是说,这个分法能得到一个极限点,以这个极限点为中心、任意半径做球,球中都会有无限点,否则前面那个二分法数列会在有限步内得到空集,所给的集合不是无限集.