设函数f（x）=sinx+sin（x+π3）．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．

题目

设函数f（x）=sinx+sin（x+

π

3

）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．

答案

（Ⅰ）f（x）=sinx+

1

2

sinx+

3

2

cosx=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

sin（x+

π

6

），
∴当x+

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），即x=2kπ-

2π

3

（x∈Z）时，f（x）取得最小值-

3

，
此时x的取值集合为{x|x=2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
（Ⅱ）先由y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的

3

倍，横坐标不变，即为y=

3

sinx的图象；
再由y=

3

sinx的图象上的所有点向左平移

π

6

个单位，得到y=f（x）的图象．

（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合；
（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．

本题考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．