在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m=（2b-c，ccosC），n=（a，cosA），且m∥n． （1）求角A的大小； （2）求函数y=2sin2B+cos（π3-2B）的值域

题目

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

m

=（2b-c，ccosC），

n

=（a，cosA），且

m

∥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

答案

（1）由

m

∥

n

，得（2b-c）cosA-acosC=0，…（2分）
∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
=sin（π-B）=sinB．…（4分）
在锐角三角形ABC中，sinB＞0，
∴cosA=

1

2

，故有 A=

π

3

．…（6分）
（2）在锐角三角形ABC中，∠A=

π

3

，故

π

6

＜B＜

π

2

．…（7分）
∴y=2sin2B+cos(

π

3

-2B)=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=1+sin(2B-

π

6

)．…（9分）
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1，

3

2

＜y≤2，
∴函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域为(

3

2

，2]．…（12分）

（1）由

m

∥

n

，得（2b-c）cosA-acosC=0，再利用正弦定理及三角函数的恒等变换可得2sinBcosA=sinB，根据锐角三角形ABC中，sinB＞0，可得cosA＝

1

2

，从而求得A的值．
（2）在锐角三角形ABC中，∠A＝

π

3

，故

π

6

＜B＜

π

2

，利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为1+sin（2B-

π

6

），
再根据正弦函数的定义域和值域求出函数y的值域．

本题考点：正弦定理的应用；平面向量的综合题．

考点点评：本题主要考查两个向量数量积公式，三角函数的恒等变换以及正弦定理的应用，属于中档题．