在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,m=(2b-c,ccosC),n=(a,cosA),且m∥n. (1)求角A的大小; (2)求函数y=2sin2B+cos(π3-2B)的值域
题目
在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
=(2b-c,ccosC),
=(a,cosA),且
∥
.
(1)求角A的大小;
(2)求函数y=2sin
2B+cos(
-2B)的值域.
答案
(1)由
∥
,得(2b-c)cosA-acosC=0,…(2分)
∴(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)
=sin(π-B)=sinB.…(4分)
在锐角三角形ABC中,sinB>0,
∴
cosA=,故有
A=.…(6分)
(2)在锐角三角形ABC中,∠
A=,故
<B<.…(7分)
∴
y=2sin2B+cos(-2B)=1-cos2B+cos2B+sin2B=
1+sin2B-cos2B=1+sin(2B-).…(9分)
∵
<B<,∴
<2B-<,
∴
<sin(2B-)≤1,
<y≤2,
∴函数y=2sin
2B+cos(
-2B)的值域为
(,2].…(12分)
(1)由
∥
,得(2b-c)cosA-acosC=0,再利用正弦定理及三角函数的恒等变换可得2sinBcosA=sinB,根据锐角三角形ABC中,sinB>0,可得
cosA=,从而求得A的值.
(2)在锐角三角形ABC中,∠
A=,故
<B<,利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为1+sin(2B-
),
再根据正弦函数的定义域和值域求出函数y的值域.
正弦定理的应用;平面向量的综合题.
本题主要考查两个向量数量积公式,三角函数的恒等变换以及正弦定理的应用,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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