已知F1（-C,0）,F2（C,0）为椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,P为椭圆上一点且PF1向量乘以PF2向量=C^2

题目

已知F1（-C,0）,F2（C,0）为椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点,P为椭圆上一点且PF1向量乘以PF2向量=C^2
则椭圆离心率e的取值范围是

答案

由题意可知：|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,
向量的数量积：PF1*PF2=|PF1|*|PF2|cos∠P=c²
在△PF1F2中,由余弦定理可得：
|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1|*|PF2|cos∠P
所以：(2c)²=|PF1|²+|PF2|²-2c²
即：|PF1|²+|PF2|²=6c²
又由均值定理知：|PF1|²+|PF2|² ≥ (|PF1|+|PF2|)²/2=2a²
所以：6c²≥2a²
即：c²/a²≥1/3
解得：c/a≥√3/3
所以：该椭圆的离心率e＝c/a的取值范围是[√3/3,1)