函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx. (I)设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的两个极值点的充要条件. (II)求证:当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
题目
函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx.
(I)设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的两个极值点的充要条件.
(II)求证:当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
答案
(I)函数f(x)=ax
2+2x+1,g(x)=lnx,
∴F(x)=f(x)-g(x)=ax
2+2x+1-lnx,
其定义域为(0,+∞).
∴
F‘(x)=2ax+2−=
,
∴F(x)有两个极值点,
∴方程2ax
2+2x-1=0有两个不相等的正根,
∴
| △=4+8a>0 | x1+x2=−>0 | x1•x2=−>0 |
| |
,
解得
−<a<0,
∴F(x)有两个极值点的充要条件是
−<a<0.
(II)证明:不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是:
F(x)=ax
2+2x+1-lnx≥0在(0,+∞)上恒成立,
即
a≥在(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=lnx-(2x+1),则
h′(x)=−2=,
当x∈
(0,)时,h′(x)>0,
当
x∈(,+∞)时,h′(x)<0.
∴
x=时,h(x)
max=
ln−2<0,
故x∈(0,+∞),都有
<0,
∴当a≥0时,
a≥在(0,+∞)上恒成立,
即当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
(I)由F(x)=f(x)-g(x)=ax
2+2x+1-lnx,其定义域为(0,+∞),知
F‘(x)=2ax+2−=
,由F(x)有两个极值点,知方程2ax
2+2x-1=0有两个不相等的正根,由此能求出F(x)有两个极值点的充要条件.
(II)不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是
a≥在(0,+∞)上恒成立.令h(x)=lnx-(2x+1),则
h′(x)=−2=,由此能够证明当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件.
本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易错点是不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是a≥在(0,+∞)上恒成立,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 一般句变疑问句人称变化么?变的话什么时候变?
- 已知点P在函数y=1/2x(X>0)的图像上运动,PM垂直X轴与点M,PN垂直Y轴与点N,直线y=-x+1与X轴Y轴交于A、B两点,线段PM、PN分别与直线AB交于点E、F,则AF×BE的值为多少?
- 圆锥体的高一定,圆锥的底面积半径和它的体积成什么比例
- 一个长方形的周长是56厘米,长与宽的比是4:3,这个长方形的面积是多少平方厘米?
- 以乐为话题的600字作文
- 如图,A,B分别是x轴上位于原点左,右两侧的点,点M(2,p)在第一象限,直线MA交y轴于A(-4,0),
- 已知平行四边形ABCD,且AB=AD,求证AB=BC=CD =DA
- 分辨AAS ASA
- √4(根号4)(4的平方根)是正数还是负数?
- 看哪些说可通晓欧洲各国历史
热门考点
- △ABC为正三角形,在BC上取一点D,连接AD,将△ABD绕点A旋转60°到△ACE,连接DE,则△ADE是哪种三角形 要理由
- 小学五年级上册语文第一课主要内容
- 物质由离子构成还是由原子构成,怎样判断?
- 请大家帮忙,有一道数学应用题.
- 根毛细胞吸水的条件是什么
- lynn felt s_____when she met her old friend on the way to school 八下三单元
- 有5枝铅笔,分给3个同学,要使每个同学分到铅笔,共有多少种不同的分法?(提示:把每种分法都列出来.)
- 3道初中计算题!帮帮忙…(要过程)
- 移动一根火柴棍使等式成立 11-111=11
- A journey英语作文