函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx. (I)设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的两个极值点的充要条件. (II)求证:当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
题目
函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx.
(I)设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的两个极值点的充要条件.
(II)求证:当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
答案
(I)函数f(x)=ax
2+2x+1,g(x)=lnx,
∴F(x)=f(x)-g(x)=ax
2+2x+1-lnx,
其定义域为(0,+∞).
∴
F‘(x)=2ax+2−=
,
∴F(x)有两个极值点,
∴方程2ax
2+2x-1=0有两个不相等的正根,
∴
| △=4+8a>0 | x1+x2=−>0 | x1•x2=−>0 |
| |
,
解得
−<a<0,
∴F(x)有两个极值点的充要条件是
−<a<0.
(II)证明:不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是:
F(x)=ax
2+2x+1-lnx≥0在(0,+∞)上恒成立,
即
a≥在(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=lnx-(2x+1),则
h′(x)=−2=,
当x∈
(0,)时,h′(x)>0,
当
x∈(,+∞)时,h′(x)<0.
∴
x=时,h(x)
max=
ln−2<0,
故x∈(0,+∞),都有
<0,
∴当a≥0时,
a≥在(0,+∞)上恒成立,
即当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
(I)由F(x)=f(x)-g(x)=ax
2+2x+1-lnx,其定义域为(0,+∞),知
F‘(x)=2ax+2−=
,由F(x)有两个极值点,知方程2ax
2+2x-1=0有两个不相等的正根,由此能求出F(x)有两个极值点的充要条件.
(II)不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是
a≥在(0,+∞)上恒成立.令h(x)=lnx-(2x+1),则
h′(x)=−2=,由此能够证明当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
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本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易错点是不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是a≥在(0,+∞)上恒成立,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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