函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx. (I)设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的两个极值点的充要条件. (II)求证:当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.

函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx. (I)设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的两个极值点的充要条件. (II)求证:当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.

题目
函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx.
(I)设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的两个极值点的充要条件.
(II)求证:当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
答案
(I)函数f(x)=ax2+2x+1,g(x)=lnx,
∴F(x)=f(x)-g(x)=ax2+2x+1-lnx,
其定义域为(0,+∞).
F(x)=2ax+2−
1
x
=
2ax2+2x−1
x

∴F(x)有两个极值点,
∴方程2ax2+2x-1=0有两个不相等的正根,
△=4+8a>0
x1+x2=−
1
a
>0
x1x2=−
1
2a
>0

解得
1
2
<a<0

∴F(x)有两个极值点的充要条件是
1
2
<a<0

(II)证明:不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是:
F(x)=ax2+2x+1-lnx≥0在(0,+∞)上恒成立,
a≥
lnx−(2x+1)
x2
在(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=lnx-(2x+1),则h(x)=
1
x
−2=
1−2x
x

当x∈(0,
1
2
)
时,h′(x)>0,
x∈(
1
2
,+∞)
时,h′(x)<0.
x=
1
2
时,h(x)max=ln
1
2
−2<0

故x∈(0,+∞),都有
lnx−(2x+1)
x2
<0

∴当a≥0时,a≥
lnx−(2x+1)
x2
在(0,+∞)上恒成立,
即当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.
(I)由F(x)=f(x)-g(x)=ax2+2x+1-lnx,其定义域为(0,+∞),知F(x)=2ax+2−
1
x
=
2ax2+2x−1
x
,由F(x)有两个极值点,知方程2ax2+2x-1=0有两个不相等的正根,由此能求出F(x)有两个极值点的充要条件.
(II)不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是a≥
lnx−(2x+1)
x2
在(0,+∞)上恒成立.令h(x)=lnx-(2x+1),则h(x)=
1
x
−2=
1−2x
x
,由此能够证明当a≥0时,不等式f(x)≥g(x)恒成立.

利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件.

本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易错点是不等式f(x)≥g(x)恒成立的充要条件是a≥

lnx−(2x+1)
x2
在(0,+∞)上恒成立,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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