已知关于x的二次方程(k²-8k+15)x²-2(13-3k)x+8=0的两根都是整数求实数k

题目

已知关于x的二次方程(k²-8k+15)x²-2(13-3k)x+8=0的两根都是整数求实数k

答案

(k²-8k+15)x²-2(13-3k)x+8=0
(k-3)(k-5)x²-(26-6k)x+8=0
方程是一元二次方程,二次项系数≠0,k≠3且k≠5
[(k-3)x-4][(k-5)x-2]=0
x=4/(k-3)或x=2/(k-5)
令4/(k-3)=m,2/(k-5)=n,其中,m、n均为不为0的整数.
k=4/m +3 k=2/n +5
4/m +3=2/n +5
2/m=(n+1)/n
m=2n/(n+1)=(2n+2-2)/(n+1)=2 -2/(n+1)
要m是整数,则2/(n+1)是整数,整数n只能是-3、-2、1
n=-3时,m=3 此时,k=4/3 +3=13/3
n=-2时,m=4 此时,k=4/4 +3=4
n=1时,m=1 此时,k=4/1 +3=7
综上,得k为4或7或13/3.