一道高中数学公式证明题

题目

一道高中数学公式证明题
若已知点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2外,
则弦AB的方程也为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
这一个怎么证明呢?

答案

你问的我来解答.
首先,题目少了条件:过M引圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2的切线分别交圆于A,B两点.
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2) .不知道阁下是否知道已知圆上一点引出的切线方程.是这样,A在（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上,所以切线方程为(x-a)(x1-a)+(y-b)(y1-b)=r^2,同理在B点的切线方程是(x-a)(x2-a)+(y-b)(y2-b)=r^2.
M点是关键点,它是两条切线的交点,所以M在两条线上,得到:
(x0-a)(x1-a)+(y0-b)(y1-b)=r^2
(x0-a)(x2-a)+(y0-b)(y2-b)=r^2
题目要求直线AB的方程,这两个方程恰好能够求出该方程.这两个式子可以看作A(x1,y1),B(x2,y2)在(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2上.
综上,AB的方程为:
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
对于圆的切线方程,我能解释,但涉及导数、微积分,就不阐述了.也可以用联立方程,令Δ=0求得方程.