已知△ABC中，sinA(sinB+3cosB)=3sinC． （I）求角A的大小； （II）若BC=3，求△ABC周长的取值范围．

题目

已知△ABC中，sinA(sinB+

3

cosB)=

3

sinC．
（I）求角A的大小；
（II）若BC=3，求△ABC周长的取值范围．

答案

（I）A+B+C=π
得sinC=sin（A+B）代入已知条件得sinAsinB=

3

cosAsinB
∵sinB≠0，由此得tanA=

3

，A=

π

3

（II）由上可知：B+C=

2π

3

，∴C=

2π

3

-B
由正弦定理得：AB+AC=2R(sinB+sinC)=2

3

(sinB+sin(

2π

3

-B))
即得：AB+AC=2

3

(

3

2

sinB+

3

2

cosB)=6sin(B+

π

6

)
∵0＜B＜

2π

3

得

1

2

＜sin(B+

π

6

)≤1
∴3＜AB+AC≤6，
∴△ABC周长的取值范围为（6，9]

（I）把sinC=sin（A+B）代入题设等式，利用两角和公式展开后整理求得tanA的值，进而求得A．
（II）利用正弦定理可知AB+AC=2R（sinB+sinC），利用两角和公式化简整理，利用B的范围和正弦函数的单调性求得周长的范围．

本题考点：三角函数的化简求值；正弦定理的应用．

考点点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，正弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的整体把握和理解．