在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC； （1）求角B的大小； （2）设m=（sinA，cos2A），n=（4k，1）（k＞1），且m•n的最大值是5

题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC；
（1）求角B的大小；
（2）设

m

=（sinA，cos2A），

n

=（4k，1）（k＞1），且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

答案

（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA∵0＜A＜π，∴sinA≠0．
∴cosB=

1

2

∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（II）

m

•

n

=4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，A∈（0，

2π

3

）
设sinA=t，则t∈（0，1]．则

m

•

n

=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]
∵k＞1，∴t=1时，

m

•

n

取最大值．依题意得，-2+4k+1=5，∴k=

3

2

．

（1）先根据正弦定理将边的关系转化为正弦值的关系，再由两角和与差的正弦公式和诱导公式求出cosB的值，最后确定角B的值．
（2）先根据向量数量积的运算表示出

m

•

n

，再运用余弦函数的二倍角公式将2A化为A的关系，最后令t=sinA，转化为一个一元二次函数求最值的问题．

本题考点：正弦定理的应用；平面向量的坐标运算．

考点点评：本题主要考查正弦定理、和向量的数量积运算和三角函数求最值的问题．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．