如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（2，1）、C（3，2）． （1）判断△ABC的形状； （2）如果将△ABC沿着边AC所在直线旋转一周，求所得旋转体的体积．

题目

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3）、B（2，1）、C（3，2）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）如果将△ABC沿着边AC所在直线旋转一周，求所得旋转体的体积．

答案

（1）答：三角形是等腰直角三角形；
由A、B、C三点的坐标可知，
AC=

(2-3)2+(3-2)2

=

2

，
BC=

(3-2)2+(2-1)2

=

2

，
AB=3-1=2，
因为（

2

）²+（

2

）²=4=2²，即AC²+BC²=AB²，AC=BC，
故此三角形是等腰直角三角形；
（2）圆锥的体积为

1

3

π•BC²•AC=

1

3

π×（

2

）²×

2

=

2

3

2

π．

（1）先根据两点间的距离公式求出三角形各边的长，再根据勾股定理进行判断即可；
（2）旋转后所得几何体为一个圆锥，根据圆锥的体积计算公式计算即可．

本题考点：勾股定理的逆定理；等腰三角形的判定；旋转的性质．

考点点评：此题考查了两点间的距离公式和“面动成体的相关知识”，不仅要求熟悉基本的公式运算，还要有较强的空间思维能力．