两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为(  ) A.1sinα B.1cosα C.sinα D.1

两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为(  ) A.1sinα B.1cosα C.sinα D.1

题目
两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为(  )
A.
1
sinα

B.
1
cosα

C. sinα
D. 1
答案
如右图所示:过A作AE⊥BC,AF⊥CD于F,垂足为E,F,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∵AD∥CB,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵纸条宽度都为1,
∴AE=AF=1,
在△ABE和△ADF中
∠ABE=∠ADF=α
∠AEB=∠AFD=90°
AE=AF

∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
∴BC=AB,
AE
AB
=sinα,
∴BC=AB=
1
sinα

∴重叠部分(图中阴影部分)的面积为:BC×AE=1×
1
sinα
=
1
sinα

故选:A.
首先过A作AE⊥BC,AF⊥CD于F,垂足为E,F,证明△ABE≌△ADF,从而证明四边形ABCD是菱形,再利用三角函数算出BC的长,最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可.

菱形的判定与性质;解直角三角形.

此题主要考查了菱形的判定与性质,以及三角函数的应用,关键是证明四边形ABCD是菱形,利用三角函数求出BC的长.

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