一道数学关于数列的题目

题目

一道数学关于数列的题目
1=1的平方
2+3+4=9=3的平方
3+4+5+6+7=25=5的平方
4+5+6+7+8+9+10=49=7的平方
写出上列等式得到的一般规律,并用数学归纳法证明.

答案

n+(n+1)+...+(3n-2)=(2n-1)²
已知n=1时成立,设n=m时成立,则
(m+1)+(m+2)+...+[3(m+1)-2]
=(m+1)+(m+2)+...+(3m+1)
=[m+(m+1)+...+(3m-2)]+(3m-1)+(3m)+(3m+1)-m
=(2m-1)²+8m
=4m²+4m+1
=[2(m+1)-1]²
可见n=m+1时等式也成立.
归纳完成