在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．若AB•AC＝CA•CB＝k(k∈R) （1）判断△ABC的形状； （2）若k=2，求b的值．

题目

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．若

AB

•

AC

＝

CA

•

CB

＝k(k∈R)
（1）判断△ABC的形状；
（2）若k=2，求b的值．

答案

（1）

AB

•

AC

＝

CA

•

CB

＝k(k∈R)，
∴cbcosA=abcosC，
根据正弦定理可得sinCcosA=sinAcosC，
即sinCcosA-sinAcosC=0，
∴sin（A-C）=0，
∴A=C，
∴a=c，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）由（1）知bccosA=bc•

b2+c2−a2

2bc

=

b2

2

=2，
∴b=2

利用向量的数量积公式，结合正弦定理，可得△ABC为等腰三角形；
（2）由（1）知bccosA=bc•b2+c2-a22bc=b22=2，从而可求b的值．

本题考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；三角形的形状判断；正弦定理．

考点点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查向量的数量积，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．