已知函数f(x)=lnx-e∧x+a

题目

已知函数f(x)=lnx-e∧x+a
(1)若x=1是该函数的极值点,讨论fx的单调性.
(2)当a≥-2时,证明fx

答案

此题模仿今年新课标理数21题压轴题,有兴趣可以去对比下
(1)
f'(x)=1/x-e^(x+a)
f'(1)=1-e^(1+a)=0
1+a=0
a=-1
∴f(x)=lnx-e^(x-1)
f'(x)=1/x-e^(x-1)
无法直接比较大小
画出1/x和e^(x-1)图像

当x∈(0,1)时

f'(x)>0
x=1时
f'(x)=0
当x∈(1,+∞)时
f'(x)<0
∴f(x)的增区间(0,1]
减区间是(1,+∞)
(2)∵a>=-2
∴e^(x+a)>=e^(x-2)
∴-e^(x+a)<=-e^(x-2)
f(x)=lnx-e∧(x+a)<=lnx-e^(x-2)
即只需证明a=-2时
f(x)<0即可
f'(x)=1/x-e^(x-2)

f(x)先增后减
设f'(x0)=1/x0-e^(x0-2)=0
1/x0=e^(x0-2)①
ln(1/x0)=-lnx0=x0-2
lnx0=2-x0②
∴x=x0时有最大值
f(x0)=lnx0-e^(x0-2)
       =2-x0-1/x0
       =(-x0^2+2x0-1)/x0
       =-(x0-1)^2/x0
∵x0>1
∴-(x0-1)^2/x0<0
∴最大值f(x0)<0
∴当a≥-2时,证明fx<0

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