已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．

题目

已知数列{a_n}满足a_n+a_n+1=2n+1（n∈N^*），求证：数列{a_n}为等差数列的充要条件是a₁=1．

答案

充分性：∵a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+a_n+1=n+1+n，
即a_n+1-（n+1）=-（a_n-n），
若a₁=1，则a₂-（1+1）=-（a₁-1）=0，
∴a₂=2，以此类推得到a_n=n，
此时{a_n}为等差数列．
必要性：
∵a_n+a_n+1=2n+1，
∴a_n+2+a_n+1=2n+3，
两式相减得a_n+2-a_n=2，
若数列{a_n}为等差数列，则a_n+2-a_n=2d，
即2d=2，∴d=1．
则a_n+a_n+1=2a_n+1=2n+1，
∴a_n=n，即a₁=1成立．
综上数列{a_n}为等差数列的充要条件是a₁=1．