某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（　　） A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2-9x C.y=x3-6x2+9x D.y=x3+6x2-9

题目

某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（　　）
A. y=x³+6x²+9x
B. y=x³-6x²-9x
C. y=x³-6x²+9x
D. y=x³+6x²-9x

答案

设三次函数为y=ax3+bx2+cx+d因为过原点，所以常数项为d=0∴y=ax3+bx2+cx∴y'=3ax2+2bx+c由于该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，所以3ax2+2bx+c=0有两个实根1和3∴1+3＝−2b3a1×3＝c3aa+b+c＝4∴a=1，b=-...

设三次函数为y=ax³+bx²+cx+d，因为过原点，所以常数项为d=0，y'=3ax²+2bx+c，根据该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，可得

1+3＝− 2b 3a 1×3＝ c 3a a+b+c＝4

，从而可求a=1，b=-6，c=9，故可得三次函数．

本题考点：函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题以函数的性质为载体，考查函数解析式的求解，解题的关键是正确运用导数，合理建立方程组．