已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（2,4）,顶点的横坐标为1/2,与x轴交于B（x₁,0）

题目

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（2,4）,顶点的横坐标为1/2,与x轴交于B（x₁,0）
C（x₂,0）,于y轴交于点D,且x₁²+x₂²=13
1）求出这个二次函数的解析式
2）在y轴上是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与三角形DOC相似?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由

答案

定点横坐标（-b/2a）=1/2,所以有a=-b,与X轴相交于B,C,x1+x2=-b/a=1,x1×x2=c/a,x₁²+x₂²=（x1+x2）2-2x1x2=1-2c/a=13,所以有c/a=-6,二次函数过（2,4）,代入4a+2b+c=4,a=-1,b=1,c=6,y=-x²+...