等价无穷小的代换问题,在什么时候可以用?

题目

等价无穷小的代换问题,在什么时候可以用?
1）：lim[ln（1+x）^1/2+2sinx]/tanx x趋向0
这道题的答案是把它分成 lim[1/2ln(1+x)/tanx]+lim2sinx/tanx
然后用等价无穷小代替 变成 lim（1/2x）/x+lim2x/x = 2*1/2
2):那么lim[1/ln(1+x^2)-1/sinx^2]
为什么不可以把它分为 lim[1/ln（1+x^2）]-lim(1/sinx^2) 然后再把它们分别看成一个整体,用等价无穷小代替呢?

答案

能这样拆的,必须是拆开后极限仍然存在的.
lim[ln（1+x）^1/2+2sinx]/tanx
=lim[1/2ln(1+x)/tanx]+lim2sinx/tanx
两项仍然极限存在
但是lim[1/ln(1+x^2)-1/sinx^2]分为
lim[1/ln（1+x^2）]-lim(1/sinx^2) 两项极限均不存在!