已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（　　） A.10 B.53 C.153 D.303

题目

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为（　　）
A. 10
B. 5

3

C. 15

3

D. 30

3

答案

由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a＞0），
∴a+8所对的角为120°，
∴cos120°=

a2+(a+4)2−(a+8)2

2a(a+4)

=-

1

2

，
整理得：a²-2a-24=0，即（a-6）（a+4）=0，
解得：a=6或a=-4（舍去），
∴三角形三边长分别为6，10，12，
则S_△ABC=

1

2

×6×10×sin120°=15

3

．
故选C

由三角形ABC的三边构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a大于0），由三角形的边角关系得到a+8所对的角为120°，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出三角形的三边长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

本题考点：等差数列的性质；三角形中的几何计算．

考点点评：此题考查了等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．