已知抛物线y^2=4x,点M（1,0）关于y轴对称的对称点为N,直线l过点M交抛物线于AB两点证明NA NB的斜率互为相

题目

已知抛物线y^2=4x,点M（1,0）关于y轴对称的对称点为N,直线l过点M交抛物线于AB两点证明NA NB的斜率互为相
反数,求△ANB面积的最小值

答案

（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
{y=k(x-1)y2=4x可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1．
∴y1y2=-4∵N（-1,0）kNA+kNB=y1x1+1+y2x2+1=4y1y12+4+4y2y22+4
4[y1(y22+4)+y2(y12+4)](y12+4)(y22+4)=4(-4y2+4y1-4y1+4y2)(y12+4)(y22+4)=0．
又当l垂直于x轴时,点A,B关于x轴,显然kNA+kNB=0,kNA=-kNB．
综上,kNA+kNB=0,kNA=-kNB．
（Ⅱ）S△NAB=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=4(x1+x2)+8
41+1k2＞4．
当l垂直于x轴时,S△NAB=4．
∴△ANB面积的最小值等于4．