已知b+c/a=c+a/b=a+b/c求abc/(a+b)(b+c)(c+a)的值

题目

已知b+c/a=c+a/b=a+b/c求abc/(a+b)(b+c)(c+a)的值

答案

（a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=k
设上式等于k,得
a+b=kc
a+c=kb
b+c=ka
以上三式相加,得
2(a+b+c)=k(a+b+c)
k(a+b+c)-2(a+b+c)=0
(k-2)(a+b+c)=0
解得：k=2和a+b+c=0,
当k=2时,(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；
当a+b+c=0时,可得：a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,则
(a+b)(a+c)(b+c)/abc=-c*(-b)*(-a)/abc=-1.