定义在R+上的函数f(x)满足①对任意m有f(x^m)=mf(x),②f(2)=1

题目

定义在R+上的函数f(x)满足①对任意m有f(x^m)=mf(x),②f(2)=1
(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立
(2)证明：f(x)是R+上的单调增函数
(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围

答案

1.f(xy)=f[e^(lnx+lny)]=(lnx+lny)f(e)
f(x)+f(y)=f[e^lnx]+f[e^lny]=lnxf(e)+lnyf(e)
所以f(xy)=f(x)+f(y)
2.任取00
故3