设a.b.c是不全相等的正数,求证a＋b＋c大于根号下ab＋根号下bc＋根号ca

题目

设a.b.c是不全相等的正数,求证a＋b＋c大于根号下ab＋根号下bc＋根号ca

答案

∵a.b.c是正数
∴(√a-√b)^2 ≥ 0,（√b-√c)^2 ≥ 0,（√c-√a)^2 ≥ 0
又：a.b.c不全相等
∴(√a-√b)^2 ,（√b-√c)^2,（√c-√a)^2 不同时为零
∴(√a-√b)^2 +（√b-√c)^2 +（√c-√a)^2 ＞0
∴a+b-2√(ab) + b+c-2√(bc) + c+a-2√(ca) ＞0
∴2a+2b+2c＞2√(ab) +2√(bc) + 2√(ca)
∴a+b+c＞√(ab) +√(bc) + √(ca)