已知三角形的三个顶点A(1,1),B(5,3),C(4,5),l平行于AB

题目

已知三角形的三个顶点A(1,1),B(5,3),C(4,5),l平行于AB
且平分三角形ABC的面积,求直线l的方程
（2）求垂直于直线3x-4y-7=0且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程

答案

令l‖AB,交AC于点A’,交BC于点B’.要l平分S△ABC,即要
S△CA’B’：S梯形A’B’BA=1：1
S△CA’B’：S△ABC=1：2
∴CC’：CA=1：√（2）,AC’：AC=[√（2）-1]：√（2）
设点C’坐标为（x,y）
∵A(1,1),C(4,5)
∴AC’在X轴的影射=x-1.C’点的X坐标减去A点X坐标
AC在X轴的影射=4-1=3.C点的X坐标减去A点X坐标
∴AC’X轴影射：AC X轴影射=AC’：AC=[√（2）-1]：√（2）
（x-1）：3=[√（2）-1]：√（2）,求得x=4-3√（2）/2
同理,AC’在Y轴的影射=y-1.C’点的Y坐标减去A点Y坐标
AC在Y轴的影射=5-1=4.C点的Y坐标减去A点Y坐标
∴求得y=5-2√（2）
又∵l‖AB
∴l斜率=AB的斜率=（3-1）/（5-1）=2/4=1/2
∴l的方程为[y-5+2√（2）]/[x-4+3√（2）/2]=1/2
∴2x-4y-11√（2）+12=0
⑵设所求直线与X轴交点为（a,0）,与Y轴交点为（0,b）
∵直线3x-4y-7=0的斜率为3/4,垂直于所求直线
∴所求直线的斜率=-4/3
∴（0-b）/（a-0）=-4/3
b/a=4/3 → b=4/3a,a：√（a^2+b^2)=3:5 →√（a^2+b^2)=5a/3
|a+4/3a+5a/3=10| → a=±5/2,b=±10/3
∴所求直线为y=-4/3x±10/3
4x+3y±10=0