已知cosα=七分之一,cos（α-β）=十四分之十三,且0＜β＜α＜二分之派 （1）求tan2α的值（2）求β的值

题目

已知cosα=七分之一,cos（α-β）=十四分之十三,且0＜β＜α＜二分之派 （1）求tan2α的值（2）求β的值

答案

(1) cosα = 1/7,因为0＜ α＜π/2 ,
所以sinα = √(1-cos²α) = √[1-(1/7)²] = 4 √ 3 / 7
所以tanα = sinα / cosα = 4 √ 3
(2) 根据两倍角的正切公式:
tan2α = (2tanα)/(1 - tan²α)
= (2 * 4 √3)/[1 - (4 √3)²]
= - 8√3 / 47
(3) cos（α-β）=13/14,因为 -π/2 ＜ α -β ＜π/2,
所以sin（α-β） = √ [1-(cos²(α-β)] = √ [1-(13/14)²] = 3√3 /14
根据两角差的余弦公式:
cos[α - (α-β)] = cosαcos(α-β) + sinαsin(α-β)
cosβ = (1/7) * (13/14) + (4 √ 3 / 7) * (3√3 /14)
= 1/2
得β=60度