limx_o(tanx-x)/(x-sinx)的极限怎么求

题目

limx_o(tanx-x)/(x-sinx)的极限怎么求

答案

lim(x->0)(tanx-x)/(x-sinx) (0/0型,利用罗比达法则)
=lim(x->0)(sec^2x-1)/(1-cosx) (初等变换)
=lim(x->0)(1-cosx)(1+cosx)/[cosx^2x(1-cosx)] (约去1-cosx)
=lim(x->0)(1+cosx)/[cosx^2x]
=(1+1)/1=2
注意极限过程中存在的问题：
(xsinx)/(1-cosx)=x^2/(1/2*x^2) 是不成立的.
同样
tan(x)^2/(1-cosx)
=[2*tan(x)*(tan(x)^2 + 1)]/sin(x)
=[2*(tan(x)^2 + 1)^2 + 4*tan(x)^2*(tan(x)^2 + 1)]/cosx
=2 也是不成立的.
我们说lim(x->0)(sinx)/x=lim(x->0)x/x=1 是正确的,
但若是说(sinx)/x=x/x=1 那就错了.
毕竟sinx和x只是等价,并不是相等.