已知:如图,在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点. (1)求证:BF⊥DF; (2)若AB=8,AD=6,求DF的长.
题目
已知:如图,在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE的中点.
(1)求证:BF⊥DF;
(2)若AB=8,AD=6,求DF的长.
答案
(1)证明:
连接BD交AC于O,连接FO,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AC=BD=2AO=2CO,AO=CO,
∵F为AE中点,
∴FO=
CE,
∵AC=CE,
∴FO=
AC=
BD,
即FO=OB=OD,
∴∠DFB=90°,
即BF⊥DF;
(2) ∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,由勾股定理得:BD=AC=10=CE,
∴BE=10-6=4,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE=
=4
,
∵F为AE中点,
∴BF=
AE=2
,
在Rt△DFB中,DF=
=
=4
.
(1)连接BD交AC于O,连接FO,根据矩形的性质得出∠ABC=90°,AC=BD=2AO=2CO,AO=CO,推出OF是三角形AEC的中位线,得出2FO=EC=AC=BD,根据直角三角形的判定推出直角即可;
(2)求出AC和BD,得出CE长,求出BE,根据勾股定理求出AE,求出BF,在△BFD中,由勾股定理求出DF即可.
矩形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
本题考查了矩形性质,直角三角形斜边上中线性质,勾股定理等知识点的运用,灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解此题的关键,即求出FO=OB=OD,题目比较好,但有一定的难度.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点