已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．（1）求p、q的值．（2）

题目

已知，如图，抛物线y=x²+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．

（1）求p、q的值．
（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）在抛物线y=x²+px+q中，
当x=0时，y=q．即：C点的坐标为（0，q）．
因为：OA=OC，D点与A点关于y轴对称．
所以：A点的坐标为（q，0）；D点的坐标为（-q，0）．
将A（q，0）代入y=x²+px+q中得：0=q²+pq+q
即：q（q+p+1）=0
所以：q=0，（不符合题意，舍去．）
q+p=-1 ①
现在求点P的坐标，即抛物线y=x²+px+q顶点的坐标：
横坐标：-

；纵坐标：

4q−p2

，
设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C（0，q）、D（-q，0）两点，所以有方程组
q=b，0=-qk+b．
解得：k=1，b=q．
所以直线CD的解析式为：y=x+q．
因为点P在直线CD上，
所以

4q−p2

+q
解得：p=0（不符合题意，舍去）
p=2 ②
又已经求得的①、②两等式得：p=2，q=-3．
因此；p、q的值分别为 2和-3．
（2）∵p=2，q=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3，
A、D、C、P四点的坐标分别为（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）．
直线CD的方程式为y=x-3，
设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
y=x+b（因两直线平行，所以一次项系数相等）
因为点A（-3，0）在直线AQ上，将其代入y=x+b中得：0=-3+b，解得：b=3
所以：直线AQ的方程为：y=x+3
下面求直线AQ（y=x+3）与抛物线y=x²+2x-3的交点Q的坐标：
解方程组y=x²+2x-3，y=x+3．得x₁=2，y₁=5；x₂=-3，y₂=0．
即：两交点为A（-3，0）；Q（2，5）．
下面再求A、Q两点距离和P、D两点距离：从图形可知
|AQ|=5

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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