试确定，对于怎样的正整数a，方程5x2-4（a+3）x+a2-29=0有正整数解？并求出方程的所有正整数解．

题目

试确定，对于怎样的正整数a，方程5x²-4（a+3）x+a²-29=0有正整数解？并求出方程的所有正整数解．

答案

将方程改写为 （x-6）²+（a-2x）²=65，
由于65表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：65=1²+8²=4²+7²
所以，

| x -  6 |=8 |a-2x|=1

…①，或 

| x -  6 |=7 |a-2x|=4

…②

| x -  6 |=1 |a-2x|=8

…③，或 

| x -  6 |=4 |a-2x|=7

…④
由①得x=14（当a=29或27）；由②得x=13（当a=22或30）；
由③得x=5（当a=2或18）； 或 x=7（当a=6或22）；
由④得x=2（当a=11）；或 x=10（当a=13或27）．

首先把方程改写成（x-6）²+（a-2x）²=65这种形式，根据65表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：65=1²+8²=4²+7²，进而求出x的整数根．

本题考点：一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评：本题主要考查一元二次方程的整数根和有理根的知识点，解答本题的关键是把方程改写成（x-6）²+（a-2x）²=65这种形式，此题难度一般．