已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R． （1）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合； （2）说明函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过的变化得到．

题目

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）说明函数f（x）的图象可由y=sinx的图象经过的变化得到．

答案

（1）∵f（x）=sinx+cosx
=

2

sin（x+

π

4

），
∴当sin（x+

π

4

）=1，即x=

π

4

+kπ，k∈Z时，函数取得最大值

2

，
此时x的取值集合为{x|x=

π

4

+kπ，k∈Z}；
（2）先将y=sinx的图象向左平移

π

4

个单位，得到y=sin（x+

π

4

）的图象，
然后再把所得函数图象上每个点的纵坐标扩大

2

倍（横坐标不变）就得到函数y=f（x）的图象．

（1）利用辅助角公式将f（x）=sinx+cosx化为f（x）=

2

sin（x+

π

4

），利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）利用三角函数的图象变换即可得到答案．

本题考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的最值，掌握三角函数的图象变化与三角函数的性质是解决问题的关键，属于中档题．