三角形数表第一行由1至99的奇数排成每行比上面一行少一个数每个数等于它肩膀两个数相加表中有?个67的倍数

题目

三角形数表第一行由1至99的奇数排成每行比上面一行少一个数每个数等于它肩膀两个数相加表中有?个67的倍数

答案

17 个
第一行的数字为 1 3 5 …… 99
可以用 An = 2n - 1 ,来表达.其中 n = 1 到50
第二行数字的通项公式
Bn = An + A(n+1) = (2n-1) + [2(n+1) -1] = 4n = 2(2n + 0)
n = 1 到49
第三行数字的通项公式为
Cn = Bn + B(n+1) = 4n + 4(n+1) = 4*(2n+1)
n = 1 到 48
第四行为
Dn = 4(2n+1) + 4(2n+3) = 4(4n+4) = 16*(n+1) = 8*(2n+2)
n = 1 到47
第五行为
En = Dn + D(n+1) = 16(n+1) + 16(n+2) = 16(2n+3)
n = 1 到46
……
因此 各行的通项可以如下表达：
第k行
2^(k-1)*(2n + k -2)
k 从 1 到 50
n 从 1 到 51 -k
设 2^(k-1)(2n + k -2) = 67m
由于 2^(k-1) 永远不是 67 的倍数.所以要使上式成立,则必须
2n + k -2 = 67 M
M 为正整数
由于 k 从1 到50,n从1 到51-k
所以 2n + k < 101
所以 M 只能为 1.
即
2n + k -2 = 67
2n + k = 69
n = (69 - k)/2
因此 当 k = 1,3 ,5 …… 33 时,上式有解.
（注意 k = 35 ,37 ……时,n 已经超出了 51-k 这个范围）
k = 1 3 5 …… 33 一共 17个.
所以 一共17个 67的倍数.