(高中题目) 证明 4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9

题目

(高中题目) 证明 4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
要怎样去证明啊? 是要用归纳法还是甚麼方法呢 ?
可以把计算过程写出来吗?
第一步己经不是太了解, 你是怎样算出来的? 可以再详细一点吗?

答案

一种方法：
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数,
于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数,
展开得4x6^n+5^(n+1)－9是20的倍数,
也就是4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
得证.
补充说明：
这种类型的题,需要逆着推的思路.
要证明4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9,
即证4x6^n+5^(n+1)－9是20的倍数,
发现4＋5＝9,
于是作变换4×(6^n-1)+5×(5^n-1).（证明此式是20的倍数）
再发现4×5＝20,
于是提取20,
即证(6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数.
观察(6^n-1)/5 和(5^n-1)/4的形式,
不难发现是(1+6+6^2+…+6^n)和(1+5+5^2+…+5^n)的和公式.
问题就简化到证明(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
这是显而易见的——整数的整数次方必定是整数.
于是题目就得证了.