设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+x2+x3+.+xn.

题目

设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+x2+x3+.+xn.

答案

最直接的就是用Cauchy不等式得:(x2+x3+...+xn+x1)(x1^2/x2+x2^2/x3+...+x(n-1)^2/xn+xn^2/x1)≥ (x1+x2+...+x(n-1)+xn)^2.两边除以x2+x3+...+xn+x1 = x1+x2+...+x(n-1)+xn即得.也可以用均值不等式局部放缩:x1^2/x2+x...