求解微分方程dy/dx=(a/(x+y))^2

题目

求解微分方程dy/dx=(a/(x+y))^2

答案

设u=x+y
dy=du-dx
原式可化为du/dx-1=(a/u)^2
1/(1+(a/u)^2)*du=dx
两边积分得
∫1/(1+(a/u)^2)du=x+c
∫u^2/(u^2+a^2)du=x+c
∫(1-a^2/(u^2+a^2)du=x+c
∫(1-1/(1+(u/a)^2)du=x+c
u-a∫1/(1+(u/a)^2)d(u/a)=x+c
u-a*arctan(u/a)=x+c
u=x+y
代人得
x+y-a*arctan((x+y)/a)=x+c
y=a*arctan[(x+y)/a]+c
c是常数