计算∫x(cosx)^3 dx的不定积分

题目

计算∫x(cosx)^3 dx的不定积分
已有网友说用三倍角公式（cosx）^3=(cos3x+3cosx)/4,可解.如果不用这个公式,直接分部积分,求问怎么解下去?
∫x(cosx)^3 dx=∫x(1-(sinx)^2) d(sinx)或者,∫x(cosx)^3 dx=∫x(1+cos2x)/2 d(sinx),这两种思路,哪个比较容易计算出来?

答案

第一种思路比较好算
∫ x • cos³x dx
= ∫ x • (1 - sin²x) dsinx
= ∫ x dsinx - ∫ x • sin²x dsinx
= xsinx - ∫ sinx - (1/3)∫ x dsin³x
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x + (1/3)∫ sin³x dx
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x - (1/3)∫ (1 - cos²x) dcosx
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x - (1/3)[cosx - 1/3 • cos³x]
= xsinx + cosx - (1/3)xsin³x - (1/3)cosx + (1/9)cos³x
= xsinx +(2/3)cosx - (1/3)xsin³x + (1/9)cos³x