已知函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是_．

题目

已知函数f（x）=（ax²+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______．

答案

求导函数可得：f′（x）=2ax-lnx
∵函数f（x）=（ax²+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=2ax-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立
∴2a≥

lnx

x

令g（x）=

lnx

x

（x＞0），则g′(x)＝

1−lnx

x2

令g′（x）＞0，可得0＜x＜e；令g′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减
∴x=e时，函数取得最大值

1

e

∴2a≥

1

e

∴a≥

1

2e

故答案为：[

1

2e

，+∞)．