如图所示,D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,三角形CAE与三角形CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c.① 求AE、BD的长.② 若∠BAC=90°,设

题目

如图所示,D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,三角形CAE与三角形CBE的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c.① 求AE、BD的长.② 若∠BAC=90°,设三角形ABC的面积为S,试探求S与AE×BD之间的关系,并说明理由.

答案

1.设BD=x,AE=y,则：
c+x=b+a-x
b+y=a+c-y
∴x=(b+a-c)/2
y=(a+c-b)/2
即BD=(b+a-c)/2
AE=(a+c-b)/2
2.S=1/2bc,a²=b²+c²
AE*BD=(b+a-c)/2*(a+c-b)/2=bc/2=S
所以AE*BD=S