已知向量OA=(k,2),OB=(2,5),OC=(k-1,9),且AB⊥BC,则AB与AC夹角的余弦值

题目

已知向量OA=(k,2),OB=(2,5),OC=(k-1,9),且AB⊥BC,则AB与AC夹角的余弦值

答案

向量OA=(k,2),OB=(2,5),OC=(k-1,9),所以：AB=（2-k,5-2）=（2-k,3）
AC=(k-1-k,9-2) =（-1,7） |AC|=5√2 （5倍根号2）
因为：AB⊥BC,所以：AB x BC=0即（2-k,3）x（k-3,4）=0
（2-k）x（k-3）+3 x 4 =0,得k=6或 -1
因为AB⊥BC,所以AB与AC夹角的余弦值 为|AB|/|AC|
（1）,当k=6时,AB=（4,3）,|AB|=5,所以AB与AC夹角的余弦值 为
|AB|/|AC|=√2 /2(2分之根号2)
（2）,当k=-1时,AB=（-3,3）=3/5=0.6