已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为（　　） A.2 B.52 C.3 D.32

题目

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则

f(1)

f′(0)

的最小值为（　　）
A. 2
B.

5

2

C. 3
D.

3

2

答案

∵f（x）≥0，知

a>0 △＝b2−4ac≤0

，∴c≥

b2

4a

．
又f′（x）=2ax+b，
∴f′（0）=b>0，f（1）=a+b+c．
∴

f(1)

f′(0)

＝1+

a+c

b

≥1+

a+ b2 4a

b

=1+

4a2+b2

4ab

≥1+

2 4a2b2

4ab

=2．
当且仅当4a²=b²时，“=”成立．
故选A．

由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．

本题考点：导数的运算；函数恒成立问题；基本不等式．

考点点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了导数的运算，训练了利用基本不等式求最值，关键是通过放缩转化为含有两个变量的代数式，是中档题．